余数 Remainder

难度：⭐⭐⭐（Aaron 5年级进阶） 分类：数论 年级入口：五年级 关联：质因数分解 Prime Factorization | 公约数与公倍数 GCD and LCM | 周期运动 Periodic Motion

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核心定义

$a=q\times d+r(0\le r<d)$

• $a$：被除数
• $d$：除数
• $q$：商
• $r$：余数

同余记号：$a\equiv b(\mathrm{mod}d)$ 表示 $a$ 和 $b$ 被 $d$ 除的余数相同。

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余数的基本性质

1. 余数范围：$0\le r<d$（余数必须小于除数）
2. 余数加法：$(a+b)\mathrm{mod}d=[(a\mathrm{mod}d)+(b\mathrm{mod}d)]\mathrm{mod}d$
3. 余数乘法：$(a\times b)\mathrm{mod}d=[(a\mathrm{mod}d)\times (b\mathrm{mod}d)]\mathrm{mod}d$

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逻辑分析（Logic Lens）

余数的本质是周期性：

被7除的余数只有：0,1,2,3,4,5,6（7种）
然后循环：7→0, 8→1, 9→2...

这就是为什么余数题和周期题是同一类问题的两种面貌。星期几、月份轮换、钟表时针——都是余数。

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例题精讲

例1（基础 ⭐）

2026年1月1日是星期三，同年3月1日是星期几？

1月：31天，2月：28天（2026非闰年） 共 $31+28=59$ 天后

$59÷7=8$ 余 $3$

星期三 + 3天 = 星期六

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例2（余数反推 ⭐⭐）

一个数被3除余2，被5除余3，这个数最小是多少？

列举法：

• 被3除余2：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23…
• 被5除余3：3, 8, 13, 18, 23…
• 公共最小值：$8$

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例3（大数余数 ⭐⭐⭐）

$2^{100}$ 被7除，余数是多少？

利用余数周期性： $2^1\equiv 2,2^2\equiv 4,2^3\equiv 1(\mathrm{mod}7)$

周期为3：$100=3\times 33+1$，所以 $2^{100}\equiv 2^1\equiv 2(\mathrm{mod}7)$

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例4（余数与整除 ⭐⭐⭐）

有一堆苹果，3个3个数余2，5个5个数余4，7个7个数余6。这堆苹果最少有多少个？

规律：每次都比整除少1，所以这堆苹果数 + 1 能被3、5、7整除。

$\text{lcm}(3,5,7)=105$

最少苹果数：$105-1=104$ 个

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Aaron 练习题

1. 今天是周五，100天后是星期几？
2. $3^{50}$ 被8除余多少？（先找 $3^1,3^2,3^3,3^4(\mathrm{mod}8)$ 的规律）
3. 一个数被4除余3，被6除余5，求最小正整数解。
4. 一筐鸡蛋：2个2个数余1，3个3个数余2，5个5个数余4，最少几个？

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节点关系

余数
  ↓ 本质是
周期性 → 周期运动（钟表/日历/循环）
  ↓ 进阶
中国剩余定理（联立余数方程）
  ↑ 工具
公约数/公倍数（找公共余数周期）

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🏛 数学史光点

人物	年代	关键词
孙子（Sun Zi）	~3世纪	中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem），《孙子算经》
高斯（Gauss）	1801	模运算（Modular Arithmetic），《算术研究》

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Code & Rob · K12数学库, 2026