公约数与公倍数 GCD and LCM

难度：⭐⭐（Aaron 5年级核心） 分类：数论 年级入口：五年级 关联：质因数分解 Prime Factorization | 余数 Remainder

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核心定义

最大公约数 GCD（Greatest Common Divisor） ：两个数共同的因数中，最大的那个。

最小公倍数 LCM（Least Common Multiple） ：两个数共同的倍数中，最小的那个。

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计算方法

方法一：质因数分解法（推荐）

以 $36$ 和 $48$ 为例：

$36=2^2\times 3^2$ $48=2^4\times 3$

• GCD = 取各公共质因数的最小次幂：$2^2\times 3=12$
• LCM = 取所有质因数的最大次幂：$2^4\times 3^2=144$

口诀：GCD取小，LCM取大。

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方法二：辗转相除法（求GCD）

$\gcd (48,36):$ $48=36\times 1+12$ $36=12\times 3+0\Rightarrow \gcd =12$

用大数除以小数，余数不为0就继续用（小数÷余数），直到余数为0，最后的除数就是GCD。

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黄金公式

$\text{GCD}(a,b)\times \text{LCM}(a,b)=a\times b$

例：$\gcd (36,48)\times \text{lcm}(36,48)=12\times 144=1728=36\times 48$ ✓

这个公式可以在已知GCD时快速求LCM，反之亦然。

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逻辑分析（Logic Lens）

GCD和LCM的关系可以用集合理解：

质因数集合A（36的）：{2², 3²}
质因数集合B（48的）：{2⁴, 3}

GCD = 取"交集"中各元素最小次幂（保守取法）
LCM = 取"并集"中各元素最大次幂（贪心取法）

这是数学中”保守 vs 贪心”策略的体现。

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例题精讲

例1（基础应用）

用一块 $36cm\times 48cm$ 的长方形地板砖铺满一个正方形区域，砖不能切割，正方形边长最小是多少？

分析：正方形边长必须同时是36和48的倍数，取最小 → LCM $\text{lcm}(36,48)=144\text{ cm}$

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例2（逆向思维）

两数的GCD是12，LCM是180，其中一个数是36，另一个是多少？

利用黄金公式： $\text{另一个数}=\frac{12\times 180}{36}=\frac{2160}{36}=60$

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例3（奥数 ⭐⭐⭐）

两个数的差是12，GCD是4，求这两个数所有可能的组合。

分析：设两数为 $4m$ 和 $4n$（$m,n$ 互质，$m>n$） $4m-4n=12\Rightarrow m-n=3$

互质且差为3的 $(m,n)$：(4,1), (5,2), (7,4)… 对应两数：(16,4), (20,8), (28,16)…

验证：$(16,4)$：差=12✓，GCD=4✓；$(20,8)$：差=12✓，GCD=4✓

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Aaron 练习题

1. 求 $\gcd (72,96)$ 和 $\text{lcm}(72,96)$
2. 两数之积为1200，GCD为20，求LCM
3. 三个数12、18、24的最小公倍数是多少？（提示：先求前两个，再与第三个求LCM）

Justin 练习题

1. 找6和8的公因数，最大公因数是多少？
2. 4和6的公倍数中，最小的是哪个？

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节点关系

质因数分解 → GCD / LCM
                ↓
            分数化简（用GCD约分）
            通分（用LCM）
            工程/周期问题（用LCM）

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🏛 数学史光点

人物	年代	关键词
欧几里得（Euclid）	~300BCE	辗转相除法（Euclidean Algorithm），《原本》卷VII

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Code & Rob · K12数学库, 2026