体积 Volume

难度：⭐⭐（Aaron 5年级核心） 分类：几何 年级入口：六年级 关联：面积公式 Area Formulas | 不规则面积 Irregular Area

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基本公式

立体图形	体积公式	表面积公式
正方体	$V=a^3$	$S=6a^2$
长方体	$V=l\times w\times h$	$S=2(lw+lh+wh)$
圆柱	$V=\pi r^{2}h$	$S=2\pi r^2+2\pi rh$
圆锥	$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$	$S=\pi r^2+\pi rl$（$l$为母线）
球	$V=\frac{4}{3}\pi r^3$	$S=4\pi r^2$

关键关系：圆锥体积 = $\frac{1}{3}$ × 同底同高圆柱体积

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逻辑分析（Logic Lens）

体积 = 底面积 × 高（棱柱和圆柱）

这个规律背后的逻辑：把立体图形想象成无数层薄薄的”底面积切片”叠起来，每层厚度无限小，层数 × 厚度 = 高。这就是积分的直觉。

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例题精讲

例1（基础 ⭐）

长方体：长6cm，宽4cm，高5cm，求体积和表面积。

$V=6\times 4\times 5=120{\text{ cm}}^3$ $S=2(6\times 4+6\times 5+4\times 5)=2(24+30+20)=148{\text{ cm}}^2$

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例2（圆柱 ⭐⭐）

圆柱底面半径3cm，高10cm（π=3.14）：

$V=3.14\times 9\times 10=282.6{\text{ cm}}^3$

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例3（实际应用 ⭐⭐）

一个水桶（圆柱形），内径20cm，高30cm。装满水重多少千克？（水密度1g/cm³）

$V=3.14\times 10^2\times 30=9420{\text{ cm}}^3$ $重量=9420\text{ g}=9.42\text{ kg}$

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例4（奥数：等积变换 ⭐⭐⭐）

把一个圆柱形蜡烛（半径2cm，高15cm）融化后，铸成一个圆锥（底面半径3cm），圆锥高度是多少？

$V_{圆柱}=\pi \times 4\times 15=60\pi$ $V_{圆锥}=\frac{1}{3}\pi \times 9\times h=3\pi h$ $60\pi =3\pi h\Rightarrow h=20\text{ cm}$

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Aaron 练习题

1. 正方体边长5cm，求体积和表面积。
2. 圆柱底面直径8cm，高12cm，求体积（π=3.14）。
3. 一个游泳池：长50m，宽25m，平均深1.8m，能装多少立方米水？
4. 将一个长方体（12×8×6）切成两个完全相同的正方体，是否可能？表面积如何变化？

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🏛 数学史光点

人物	年代	关键词
阿基米德（Archimedes）	~250BCE	排水法，球体体积 = 2/3 外接柱体
卡瓦列里（Cavalieri）	1635	不可分量原理（Cavalieri’s Principle），体积推导
祖暅（Zu Geng）	~500	祖暅原理（Cavalieri原理的中国版），比欧洲早千年

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Code & Rob · K12数学库, 2026