割补法 Cut and Fill

难度：⭐⭐（Aaron 5年级 / Justin 3年级入门） 分类：几何 年级入口：五年级 关联：不规则面积 Irregular Area | 等积变换 Equal Area Transformation

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核心思想

割：把复杂图形切割成若干简单图形，分别计算后相加。 补：在不规则图形外补上规则图形，计算整体后减去补的部分。

口诀：割了加，补了减

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割补法决策

看到不规则图形，问自己：
  Q1：能分割成标准图形吗？→ 割（加法）
  Q2：补上一块能成标准图形吗？→ 补（减法）
  Q3：两种都行？→ 选计算步骤少的那种

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例题精讲

例1：割法 ⭐

一个L形图：

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上半部分：3×1=3，左竖部分：1×2=2，下半部分：3×1=3 $S=3+2+3=8$ 格

也可以：整个大方形（3×3=9）减去右上角（2×2=4）= 8格 ← 这是补法，更快！

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例2：补法 ⭐⭐

一个五角星，可以看作大正五边形减去五个角上的三角形：

$S_{五角星}=S_{大五边形}-5\times S_{角三角形}$

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例3：综合 ⭐⭐⭐

一个正方形（10×10），四个角各有一个半圆向内（半径5cm），求阴影面积。

中间十字区域：$10\times 10-4\times \frac{1}{2}\pi \times 5^2$ $=100-2\pi \times 25=100-50\pi \approx 100-157<0$

说明四个半圆已经覆盖整个正方形了，这道题需要重新画图理解……

实际上：中心圆形区域 + 四个月牙形 = 正方形 月牙形面积 = $\frac{1}{4}$ 正方形 - $\frac{1}{4}$ 圆 = $\frac{100}{4}-\frac{\pi \times 5^2}{4}=25-\frac{25\pi }{4}$

这类题一定要画图，不能光靠文字想象！

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Aaron 练习题

1. 画一个凸字形，量出各边长，用割法和补法分别计算面积，验证结果相同。
2. 一个正方形操场（20m×20m），四角各有一个扇形花圃（半径5m，90°扇形），求可用的矩形活动面积。
3. 一个圆（半径6cm）内接正方形（对角线=直径），求正方形面积和圆外正方形内的月牙形面积之和。

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Code & Rob · K12数学库, 2026