等积变换 Equal Area Transformation
难度：⭐⭐⭐（Aaron 5年级进阶） 分类：几何 年级入口：六年级 关联：面积公式 Area Formulas | 不规则面积 Irregular Area
核心思想
等积变换：在保持面积不变的前提下，改变图形的形状，使计算更简便。
常用变换：
- 同底等高的图形面积相等
- 平行四边形 ↔ 长方形（底同高同）
- 三角形切割重组
核心定理
同底等高，面积相等：
在平行线之间，所有同底的三角形（或平行四边形）面积相等。
————————————————（平行线l₁）
△A △B △C ← 顶点都在l₁上
——————————————————（平行线l₂）
底 ← 底边都在l₂上
（底同，高同）
例题精讲
例1（基础 ⭐⭐）
平行四边形ABCD中，对角线AC将其分成两个三角形，面积各是多少？
两个三角形共底AC，高相等（两平行边的距离），所以：
例2（等积代换 ⭐⭐⭐）
如图，△ABC中，D是BC的中点，求△ABD和△ACD的面积关系。
BD = DC（D是中点），△ABD和△ACD等底等高（高都是A到BC的垂线）：
推广：D是BC的三等分点，则
例3（奥数：移顶法 ⭐⭐⭐）
四边形ABCD中，对角线BD将其分为△ABD和△BCD。 现在把A沿平行于BD的方向移到A’，△A’BD面积等于△ABD面积。 所以四边形A’BCD和ABCD面积相等！
这个”移顶法”可以把复杂多边形变成简单三角形，面积不变。
Aaron 练习题
- 平行四边形底12cm，高8cm。等积变换成三角形，底仍为12cm，高是多少？
- △ABC面积24cm²，D是BC中点，E是AD中点，求△ABE面积。
- 梯形ABCD（AB∥CD），AB=10，CD=6，高=8，对角线AC将其分成两个三角形，面积各是多少？
🏛 数学史光点
| 人物 | 年代 | 关键词 |
|---|---|---|
| 欧几里得（Euclid） | ~300BCE | 《原本》卷I，面积等积命题 |
| 卡瓦列里（Cavalieri） | 1635 | 不可分量原理（Indivisibles），等积截面 |
Code & Rob · K12数学库, 2026