长方形与正方形面积 Rectangle & Square Area

年级：3年级难度：📘 课标 · 📙 希望杯 · 📕 华罗庚分类：几何年级入口：三年级关联：周长 Perimeter | 面积公式 Area Formulas | 乘法 Multiplication

面积是什么？

面积 = 一个图形覆盖的平面大小。

单位：平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²）

1平方厘米 = 一个手指甲盖大小的正方形 1平方米 = 教室地板上一块地砖的大小

公式

$S_{长方形} = 长 \times 宽$ $S_{正方形} = 边长 \times 边长 = a^{2}$

为什么是”乘”？

把长方形想象成排好的小方格：

□□□□□
□□□□□
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3行，每行5个 → $3 \times 5 = 15$ 个小方格 → 面积15（平方单位）

面积单位换算

$1 m^{2} = 100 dm^{2} 1 dm^{2} = 100 cm^{2}$

注意：长度单位进10，但面积单位进100（因为两个方向都乘了）

例题

例1（Justin ⭐）

长方形长6cm，宽4cm，面积是多少？

$S = 6 \times 4 = 24 cm^{2}$

例2（⭐⭐）

正方形面积是64cm²，边长是多少？

$a \times a = 64 \Rightarrow a = 8 cm$

（思路：8×8=64，找乘积等于64的相同两数）

例3（⭐⭐）

一块地长25m，宽16m，铺草坪每平方米45元，共需多少钱？

$S = 25 \times 16 = 400 m^{2}$ $费用 = 400 \times 45 = 18000 元$

例4（📙 希望杯）

一个长方形，长是宽的3倍，周长是48cm，面积是多少？

设宽为 $w$ ，长为 $3 w$ ： $2 (3 w + w) = 48 \Rightarrow 8 w = 48 \Rightarrow w = 6 cm$ $S = 18 \times 6 = 108 cm^{2}$

练习题

📘 课标

计算：长9cm宽7cm的长方形面积；边长11cm的正方形面积
一间教室长10m宽8m，铺地板需要多少平方米？
填空：5m² = ___dm²；300cm² = ___dm²

📙 希望杯 4. 两个完全相同的长方形（5×3），拼成一个大长方形，面积是多少？周长呢？（注意拼法不同，周长不同） 5. 正方形边长增加2cm，面积增加了多少？（边长原来是5cm）

📙 希望杯进阶 · 面积分割与折叠

面积分割问题：

例5 一个 8×6 的长方形，用一条直线分成两部分，要使两部分面积相等，这条直线必须经过哪一点？

面积 = 48 cm²，每部分 24 cm²。过长方形中心（对角线交点）的任意直线都能平分面积。

例6（📙）一块 12×8 的长方形地，从一个角落剪去一个 3×4 的小长方形，剩余部分面积是多少？能否用一刀（直线）把剩余部分分成面积相等的两块？

剩余面积： $12 \times 8 - 3 \times 4 = 96 - 12 = 84$ cm²
能否平分（42cm²）：需找过”中心”的直线，此题中心不再是对角线交点，需用面积追踪法。

折叠问题：

例7（📙）将一张 10×8 的长方形纸对折两次（先对折短边，再对折长边），每次折叠后的长方形面积各是多少？

第一次（沿长边对折）： $10 \times 4 = 40$ cm²
第二次（沿短边对折）： $5 \times 4 = 20$ cm²
折叠 $n$ 次后面积 = 原面积 ÷ $2^{n}$

📕 华罗庚 · 面积变化规律

例8（📕）正方形边长增加 $a$ cm，面积增加多少？

设原边长为 $s$ ： $S_{新} = (s + a)^{2} = s^{2} + 2 s a + a^{2}$ $增加 = 2 s a + a^{2}$

小学理解方式（不用代数）：

┌────────┬────┐
│        │    │ ← a×s（右侧竖条）
│  s×s   ├────┤
│        │a×a │ ← a×a（右下角）
└────────┴────┘
    ↑ a×s（上面横条）

增加的面积 = 右侧竖条 + 上面横条 + 右上角 = $s a + s a + a^{2} = 2 s a + a^{2}$

例9（📕）一个长方形，长增加3cm，面积增加24cm²；宽增加4cm，面积增加40cm²。求原来的长和宽。

长增加3，面积增加24 → 宽 $= 24 \div 3 = 8$ cm
宽增加4，面积增加40 → 长 $= 40 \div 4 = 10$ cm
原面积 = $10 \times 8 = 80$ cm²

练习：

（📙）两个相同的 6×4 长方形，并排拼成大长方形，哪种拼法面积相同？哪种周长更小？
（📙）一块地长30m，宽20m，在四周修一条1m宽的小路，剩余地面积是多少？
（📕）正方形边长减少2cm，面积减少36cm²，原边长是多少？

节点关系

乘法（计算工具）
  ↓
长方形面积 = 长 × 宽
正方形面积 = 边长²
  ↓ 📙 分割、折叠
  ↓ 📕 面积变化代数推导
三角形、梯形面积（5年级）
  ↓ 再升级
体积 = 底面积 × 高（6年级）

🏛 数学史光点

人物	年代	关键词
古埃及人（Egyptians）	~2000BCE	莱茵德纸草，土地面积计算
欧几里得（Euclid）	~300BCE	《原本》卷II，面积几何化

Code & Rob · K12数学库 · 3年级, 2026

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