乘法 Multiplication

年级：3年级 难度：📘 课标 · 📙 希望杯 · 📕 华罗庚 分类：基础运算 年级入口：三年级 关联：除法 Division | 乘法原理 Multiplication Principle

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乘法是什么？

乘法是加法的快捷方式。

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
          ↓ 简写
      5 × 3 = 15

5 × 3 的意思：5组，每组3个，一共多少？

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乘法口诀表（必须背熟）

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

记忆技巧：

• 乘1不变：$n\times 1=n$
• 乘2翻倍：$6\times 2=12$
• 乘5看个位：结果个位只有0或5
• 乘9手指法：伸出10根手指，折下第n根，左边=十位，右边=个位

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多位数乘法（竖式）

   1 2 3
×    4
─────────
   4 9 2

步骤：从个位开始，逐位相乘，满10进位。

两位数 × 两位数

   2 3
×  1 4
──────
   9 2    ← 23 × 4
+ 2 3 0   ← 23 × 10（注意补0）
──────
  3 2 2

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例题

例1（Justin ⭐）

一盒蜡笔有8支，6盒共有多少支？

$6\times 8=48\text{ 支}$

例2（⭐⭐）

学校买了24箱矿泉水，每箱12瓶，一共多少瓶？

$24\times 12=288\text{ 瓶}$

例3（📙 希望杯）

用1、2、3、4各一次，能组成的最大两位数乘以最小两位数，结果是多少？

最大两位数：43，最小两位数：12 $43\times 12=516$

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练习题

📘 课标

1. 计算：$7\times 8$，$9\times 6$，$7\times 7$
2. 一周有7天，12周有多少天？
3. 竖式计算：$34\times 26$

📙 希望杯 4. 一个数乘以9，结果是81，这个数是多少？ 5. 三个连续自然数的乘积最小是多少（不含0）？

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📙 希望杯进阶 · 数字谜

数字谜：方框里填数字（0-9），使等式成立。

例4（📙）：$\square \times \square =\square \square$，每个方框填一个不同的数字（1-9），有多少种填法？

解题思路：枚举两位数乘积在10-99之间的组合

积	因子对
12	2×6, 3×4
18	2×9, 3×6
24	3×8, 4×6
36	4×9, 6×6（重复不算）
48	6×8
…	…

注意：$\square \times \square =\square \square$ 中，4个数字必须互不相同。如 $2\times 6=12$：数字2、6、1、2 中有重复（两个2），不合法。需逐一验证。

例5（📙）：$\square \times 9=\square \square$，两位结果的十位和个位之和等于那个方框里的数，求这个数。

$n\times 9=\overline{ab}$，且 $a+b=n$。

列举：$2\times 9=18$（1+8=9≠2）、$3\times 9=27$（2+7=9≠3）…都不行。

实际上 $n\times 9$ 的各位之和总等于 9（九的倍数规律！），所以 $a+b=9$，需 $n=9$：$9\times 9=81$，$8+1=9=n$ ✓

答：$9\times 9=81$，数字是9。

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📕 华罗庚 · 数字规律与末位分析

积的末位规律：

个位	自乘10次末位循环
1	1, 1, 1, … （周期1）
2	2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … （周期4）
3	3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, … （周期4）
5	5, 5, 5, … （周期1）
7	7, 9, 3, 1, 7, … （周期4）
9	9, 1, 9, 1, … （周期2）

例6（📕）$7^{2026}$ 的个位数字是多少？

7的周期4：7→9→3→1→7→… $2026=4\times 506+2$，余2，对应第2位：个位是 9。

例7（📕）三个连续自然数的乘积的末两位是多少？（以7×8×9为例，以12×13×14为例）

$7\times 8\times 9=504$，末两位 04 $12\times 13\times 14=2184$，末两位 84

规律：三个连续数的乘积必定是 $6$ 的倍数（含2和3的因子），但末两位需逐一分析。

练习：

1. （📙）$\square \square \times 3=\square \square \square$，百位是1，十位是2，求这个算式。
2. （📙）找出所有满足 $a\times b=\overline{ba}$（两位数交换位置）的自然数对 $a,b$。
3. （📕）$3^{100}$ 的个位数字是多少？$2^{50}$ 的个位数字是多少？

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节点关系

乘法（核心运算）
  ↓ 逆运算
除法 Division
  ↓ 📙 数字谜（结构推理）
  ↓ 📕 末位规律（与余数联动）
余数 Remainder（数论）
  ↓ 思维升级
乘法原理（计数）
  ↓ 应用
面积 = 长 × 宽

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🏛 数学史光点

人物	年代	关键词
巴比伦人（Babylonians）	~2000BCE	泥板算术，乘法表
印度数学家（Indian Mathematicians）	9-12世纪	位值制（Positional Notation），零的概念
斐波那契（Fibonacci）	1202	Liber Abaci，将印度-阿拉伯数字引入欧洲

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Code & Rob · K12数学库 · 3年级, 2026