容斥原理 Inclusion-Exclusion

容斥原理 Inclusion-Exclusion Principle

难度：⭐⭐⭐（Aaron 5年级进阶） 分类：排列与组合 年级入口：五年级 关联：加法原理 Addition Principle | 公约数与公倍数 GCD and LCM

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核心定义

当两类方法有重叠时，不能直接相加，必须减去重叠部分：

$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

三个集合：

$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$

口诀：加个加个加，减个减个减，再加回来。

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逻辑分析（Logic Lens）

想象两个圆圈（韦恩图 Venn Diagram）：

  [  A  [重叠]  B  ]

• $|A|+|B|$ 把重叠部分数了两次
• 所以要减去一次 $|A\cap B|$
• 得到准确的并集大小

这是数学中”过度计数后修正”的经典思路，也是很多算法的基础。

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例题精讲

例1（基础 ⭐⭐）

全班40人，参加数学兴趣班的有25人，参加语文兴趣班的有20人，两个都参加的有10人，只参加一个班的有多少人？

$|数\cup 语|=25+20-10=35\text{ 人}$ 只参加一个：$35-10=25$ 人

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例2（数论结合 ⭐⭐⭐）

1到100中，能被3或5整除的数有多少个？

• 被3整除：$\lfloor 100/3\rfloor =33$ 个
• 被5整除：$\lfloor 100/5\rfloor =20$ 个
• 被15整除（同时被3和5整除）：$\lfloor 100/15\rfloor =6$ 个

$33+20-6=47\text{ 个}$

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例3（三集合 ⭐⭐⭐）

全班50人，喜欢篮球30人，足球25人，乒乓球20人。 同时喜欢篮球和足球10人，篮球和乒乓球8人，足球和乒乓球6人，三种都喜欢的4人。 只喜欢一种运动的有多少人？

$|A\cup B\cup C|=30+25+20-10-8-6+4=55$

等等，55 > 50，说明有人一种都不喜欢吗？不对，这里所有人都算进去了。

三种都喜欢：4人 恰好两种：$(10-4)+(8-4)+(6-4)=6+4+2=12$ 人 恰好一种：$50-4-12=34$ 人（从总人数倒推）

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Aaron 练习题

1. 200以内，被4整除或被6整除的数有多少个？
2. 全班45人，会骑自行车的32人，会游泳的28人，两样都会的有多少人？（已知只会骑车的比只会游泳的多5人）
3. 用容斥原理验证：1~30中，不能被2、3、5整除的数有多少个？

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节点关系

加法原理（无重叠时的计数）
    ↓ 有重叠时升级为
容斥原理
    ↓ 工具：韦恩图（Venn Diagram）
    ↓ 应用于
整除计数 / 集合运算 / 概率计算

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🏛 数学史光点

人物	年代	关键词
西尔维斯特（Sylvester）	1883	容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）形式化
欧拉（Euler）	1740s	容斥思想的早期运用，数论应用

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Code & Rob · K12数学库, 2026