计数综合专题 Counting Competition
年级：5-6年级 难度：📙📕（无📘层——这是竞赛副本入口） 分类：排列与组合 年级入口：五年级 | 六年级 关联：乘法原理 Multiplication Principle | 加法原理 Addition Principle | 容斥原理 Inclusion-Exclusion | 排列计数 Counting Arrangements | 组合选取 Counting Selections | 有序与无序 Order Matters
专题定位
这个节点不教新概念——它是战场。
你已经学过：
- 乘法原理（分步）→ 每步必须做，结果相乘
- 加法原理（分类）→ 互斥情况，结果相加
- 容斥原理 → 重叠区域，加了再减
- 排列计数 → 顺序有关，树图枚举
- 组合选取 → 顺序无关，去重计数
这里的题，每道都要你决定：用哪个？为什么？
逻辑分析（Logic Lens）
计数题最难的地方不是计算，是分类决策。
遇到一道计数题，先问三个问题：
① 这件事是"分步完成"还是"分情况讨论"？
→ 分步用乘法原理
→ 分类用加法原理
② 有没有重叠？
→ 有重叠用容斥原理
③ 顺序重要吗？
→ 重要（ABCD ≠ DCBA）→ 排列计数
→ 不重要（选人不排队）→ 组合选取
大多数难题需要组合使用：先分类（加法），再对每类分步（乘法），最后检查重叠（容斥）。
例题精讲
⭐⭐ 希望杯级
题1：路线计数
从家到学校，必须经过书店或图书馆（不能绕远路）。从家到书店有3条路，书店到学校有2条路；从家到图书馆有2条路，图书馆到学校有4条路。一共有多少种走法？
分析：
- “经过书店”和”经过图书馆”是两种情况 → 加法原理
- 每种情况内部是两步相乘 → 乘法原理
解：
- 经过书店： 种
- 经过图书馆： 种
- 共 种
题2：密码锁
一个4位密码，每位可以是0-9中的任意数字，但第一位不能是0，且四位数字不能全部相同。一共有多少种密码？
分析：
- 先算没有限制时（第一位不为0）：
- 再减去”四位全同”的：1111, 2222, …, 9999，共9种
- 注意0不能做第一位，所以0000不在范围内
解： 种
这叫补集法（间接计数）：正面难算，就算反面再相减。
题3：握手问题
6个人互相握手，每两人握一次，共握多少次？
分析：
- 选2个人握手，顺序无关（A和B握 = B和A握）→ 组合选取
- 从6人中选2人：画表格枚举
| 选法 | 数量 |
|---|---|
| 第1人可与其余5人握 | 5次 |
| 第2人可与剩余4人握 | 4次 |
| …以此类推… | … |
| 合计 | 次 |
答：共 次
⭐⭐⭐ 华罗庚级
题4：涂色问题
一排5个格子，用红、黄、蓝三种颜色涂色，相邻格子颜色不同。共有多少种涂法？
分析：
- 第1格：3种选择
- 第2格：不能与第1格同色 → 2种
- 第3格：不能与第2格同色 → 2种
- 第4格：2种，第5格：2种
- 每步独立 → 乘法原理
解： 种
题5：容斥综合
1到100中，能被3整除或能被5整除的数有多少个？
分析：容斥原理
- 能被3整除： 个
- 能被5整除： 个
- 能被15整除（重叠）： 个
解： 个
题6：分组计数（华罗庚真题风格）
将8个不同的球分给3个小朋友，每人至少得1个球，有多少种分法？
分析： 这道题正面很难直接计算——先用补集法。
总分法（不限每人球数）：每个球有3种归属 → 种
减去”至少一人拿0个球”：
- 只给2人分： 种，有 种选法（排除哪个人）→
- 只给1人分： 种，有 种 →
- 容斥： 种
这道题融合了：补集法 + 容斥原理 + 分步乘法，是华罗庚杯常见题型。
练习题
📙 希望杯练习
-
从5本不同的书中选3本送给3个小朋友（每人一本，书不重复），有多少种方法？
-
用1、2、3、4四个数字组成四位数（每个数字只用一次），其中偶数有多少个？
-
一次考试有10道选择题，每题有A、B、C、D四个选项，选手必须每题都答，共有多少种答题方式？
📕 华罗庚练习
-
1到200中，能被4整除或能被6整除的数有多少个？
-
从6个男生4个女生中，选4人参加比赛，要求至少有1名女生，有多少种选法？（用补集法）
-
将6个不同的苹果分给2个小朋友，每人至少得1个，有多少种分法？
节点关系
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乘法原理 加法原理 容斥原理 排列计数 组合选取
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有序与无序
螺旋路径：
- 3年级：乘法（计算基础）
- 5年级：乘法原理 → 加法原理 → 容斥原理（概念建立）
- 5-6年级：排列计数 + 组合选取（技术完善）
- 此处：综合出题，竞赛实战
Code & Rob · K12数学库 · 5-6年级竞赛专题, 2026