质因数分解 Prime Factorization

难度：⭐⭐（Aaron 5年级核心） 分类：数论 年级入口：五年级 关联：公约数与公倍数 GCD and LCM | 余数 Remainder

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核心定义

质数（Prime Number）：只能被1和自身整除的正整数（2, 3, 5, 7, 11, 13…）

注意：1不是质数；2是唯一的偶质数

质因数分解：把一个合数写成若干质数的乘积形式。

$60=2^2\times 3\times 5$

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分解方法

方法一：因数树（直观）

方法二：短除法（竖式）

60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5  ÷ 5 = 1

结果：$60=2\times 2\times 3\times 5=2^2\times 3\times 5$

操作口诀：从最小质数2开始试除，除不尽就换下一个质数（3、5、7…），直到商为1。

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逻辑分析（Logic Lens）

质因数分解本质是唯一分解定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）：

任何大于1的整数，都可以唯一地表示为质数的乘积（不计顺序）。

这是数学中极少数”唯一性”定理之一——无论你从哪个方向开始分解，结果永远相同。这是数论的基石。

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例题精讲

例1（基础）

分解 $84$

84 ÷ 2 = 42
42 ÷ 2 = 21
21 ÷ 3 = 7
7  ÷ 7 = 1

答：$84=2^2\times 3\times 7$

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例2（应用：判断因数个数）

$72$ 有多少个因数？

分解：$72=2^3\times 3^2$

公式：因数个数 $=(3+1)\times (2+1)=4\times 3=12$ 个

规律：$n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\cdots$ 则因数个数 $=(a_1+1)(a_2+1)\cdots$

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例3（奥数 ⭐⭐⭐）

$n$ 的因数个数是奇数，$n$ 是什么数？

分析：只有当 $n$ 是完全平方数时，因数个数才是奇数。 （因为完全平方数有”配对不完整”的中间因数）

例：$36=6^2$，因数：1,2,3,4,6,9,12,18,36，共9个（奇数）

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Aaron 练习题

1. 分解质因数：$120$、$180$、$252$
2. $2^3\times 3\times 5^2$ 有多少个因数？
3. 找出1~100中所有完全平方数

Justin 练习题

1. 判断哪些是质数：1、2、7、9、11、15、23
2. 把12、18、24分别分解质因数

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节点关系

质因数分解
    ↓ 直接应用
公约数（GCD）= 取各质因数最小次幂之积
公倍数（LCM）= 取各质因数最大次幂之积
    ↓ 进阶
余数定理 / 同余理论

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🏛 数学史光点

人物	年代	关键词
欧几里得（Euclid）	~300BCE	《原本》（Elements）卷IX，无穷多素数证明
埃拉托斯特尼（Eratosthenes）	~240BCE	筛法（Sieve），素数列表

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Code & Rob · K12数学库, 2026