分数运算 Fraction Operations

年级：5年级 难度：📘 课标 / 📙 希望杯 分类：基础运算 年级入口：五年级 关联：分数初步 Intro to Fractions | 分数与小数 Fractions and Decimals | 比与比例 Ratio and Proportion

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四则运算速查

加减法：通分后计算

$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$

通分步骤：找分母的 LCM → 各自扩分 → 分子加减 → 化简

乘法：直接乘，可先约分

$\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}=\frac{3\times 8}{4\times 9}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$

技巧：交叉约分先化简再乘，避免大数计算：$\frac{{\cancel{3}}^1}{{\cancel{4}}^2}\times \frac{{\cancel{8}}^2}{{\cancel{9}}^3}=\frac{2}{3}$

除法：乘以倒数

$\frac{3}{5}÷\frac{6}{7}=\frac{3}{5}\times \frac{7}{6}=\frac{21}{30}=\frac{7}{10}$

口诀：除以一个分数 = 乘以它的倒数

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逻辑分析（Logic Lens）

为什么除以分数要乘倒数？

$6÷2=3$ 可以理解为”6里面有几个2” $1÷\frac{1}{3}$ = “1里面有几个$\frac{1}{3}$” = 3个

所以 $1÷\frac{1}{3}=1\times 3=3$，即乘以倒数。

这不是死规则，是逻辑推导出来的。

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混合运算顺序

与整数相同：先乘除，后加减，有括号先算括号

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

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例题精讲

例1（📘 基础）

$\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6}$

LCM(3,4,6)=12：$\frac{8}{12}+\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}$

例2（📘 基础）

$\frac{5}{6}\times \frac{3}{10}÷\frac{1}{4}$

$=\frac{5}{6}\times \frac{3}{10}\times 4=\frac{5\times 3\times 4}{6\times 10}=\frac{60}{60}=1$

例3（📙 应用）

一根绳子长 $\frac{7}{8}$ 米，用了 $\frac{2}{3}$，用了多少米？还剩多少米？

用了：$\frac{7}{8}\times \frac{2}{3}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}$ 米

剩下：$\frac{7}{8}-\frac{7}{12}=\frac{21}{24}-\frac{14}{24}=\frac{7}{24}$ 米

例4（📙 逆向思维）

一桶油用了 $\frac{3}{5}$，还剩 12 升，这桶油原来有多少升？

剩下 $1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$ 对应 12 升

全桶 = $12÷\frac{2}{5}=12\times \frac{5}{2}=30$ 升

例5（📕 华罗庚）

$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{9\times 10}$

裂项法：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$

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练习题

📘 课标

1. 计算：$\frac{5}{8}+\frac{3}{4}$；$\frac{7}{9}-\frac{2}{3}$；$\frac{4}{5}\times \frac{15}{16}$；$\frac{3}{4}÷\frac{9}{8}$
2. 一袋面粉重 $\frac{3}{4}$ 吨，用去 $\frac{1}{3}$，剩多少吨？
3. 小明读一本书，第一天读了全书的 $\frac{1}{5}$，第二天读了 $\frac{2}{7}$，两天共读了全书的几分之几？

📙 希望杯 4. 甲乙两人合作完成一项工程，甲单独需6天，乙单独需4天，合作几天完成？ 5. 一个分数，分子加3后等于 $\frac{3}{4}$，分母减2后等于 $\frac{2}{3}$，求原分数。

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节点关系

分数初步（认识分数）
    ↓
分数运算（加减乘除全通）
    ↓
比与比例（分数的比较形式）
百分数（分母=100的特殊分数）
    ↓ 应用
工程问题（合作效率）
行程问题中的分数计算

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🏛 数学史光点

人物	年代	关键词
古埃及人（Egyptians）	~1650BCE	单位分数运算，莱茵德纸草
斐波那契（Fibonacci）	1202	Liber Abaci，分数四则运算系统化
欧几里得（Euclid）	~300BCE	《原本》卷VII，分数约分与通分

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