排列计数 Counting Arrangements

年级：5-6年级 难度：📙 希望杯 / 📕 华罗庚 分类：排列与组合 年级入口：五年级 | 六年级 关联：乘法原理 Multiplication Principle | 组合选取 Counting Selections | 有序与无序 Order Matters

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什么是”有顺序的计数”？

当顺序不同就算不同结果，用”逐步乘法”来数。

举例：3人（甲乙丙）排成一排，有几种排法？

第1个位置：3种选择（甲/乙/丙）
第2个位置：2种（已用1人，剩2人）
第3个位置：1种（剩最后1人）

总计：3 × 2 × 1 = 6 种

用树状图看得最清楚：

甲─┬─乙─丙   甲乙丙
   └─丙─乙   甲丙乙
乙─┬─甲─丙   乙甲丙
   └─丙─甲   乙丙甲
丙─┬─甲─乙   丙甲乙
   └─乙─甲   丙乙甲

共 6 条路径 = 6种排法。

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逻辑分析（Logic Lens）

排列计数的核心：每次选完不放回，选择变少。

从 n 个中选 m 个排成一列：
第1步：n 种
第2步：n-1 种
第3步：n-2 种
……
第m步：n-m+1 种

总计：n × (n-1) × (n-2) × … × (n-m+1)   ← 共乘 m 项

注意：这里不写 $A_n^m$，那是高中符号。小学只需记住”逐步乘，每次少一”。

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例题精讲

例1（📙 基础）

5本书放进书架，有几种放法？

$5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\text{ 种}$

例2（📙 从 n 中选 m）

从6名同学中选3人站成一排，共几种站法？

$6\times 5\times 4=120\text{ 种}$

（选3个位置，第1位6选，第2位5选，第3位4选）

例3（📙 有限制条件）

5人站一排，甲必须站最左边，共几种？

• 最左位固定给甲：1种
• 其余4人全排：$4\times 3\times 2\times 1=24$ 种

答：$1\times 24=24$ 种

例4（📕 相邻问题——捆绑法）

5人站一排，甲乙必须相邻，共几种？

捆绑：把甲乙看成一个整体，共4个”元素”排列：

• 4元素全排：$4\times 3\times 2\times 1=24$ 种
• 甲乙内部互换：$2\times 1=2$ 种

答：$24\times 2=48$ 种

例5（📕 不相邻——插空法）

5人站一排，甲乙不相邻，共几种？

先排其余3人：$3\times 2\times 1=6$ 种 3人排好后产生 4个空位（_人_人_人_），甲乙各选一个： $4\times 3=12$ 种

答：$6\times 12=72$ 种

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练习题

📙 希望杯

1. 4本不同的书排成一排，共几种排法？
2. 从5名学生中选2人分别担任正副班长，共几种？
3. 用0、1、2、3组成不重复三位数，共几个？（注意：首位不能是0）

📕 华罗庚 4. 6人站一排，甲不站两端，共几种站法？ 5. 4男3女站一排，男女必须交替，共几种？

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节点关系

乘法原理（逐步相乘的理论基础）
    ↓
排列计数（有顺序，每次少一个选择）
    ↓ 对比
组合选取（无顺序，不在乎谁先谁后）
    ↓ 特殊技巧
捆绑法（相邻）/ 插空法（不相邻）/ 先定限制位

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🏛 数学史光点

人物	年代	关键词
杨辉（Yang Hui）	1261	杨辉三角，排列计数
帕斯卡（Pascal）	1654	帕斯卡三角（Pascal’s Triangle），概率论基础
莱布尼茨（Leibniz）	1666	组合数学，De Arte Combinatoria

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Code & Rob · K12数学库 · 5-6年级, 2026