圆 Circle

年级：6年级 难度：📘 课标 / 📙 希望杯 / 📕 华罗庚 分类：几何 年级入口：六年级 关联：面积公式 Area Formulas | 体积 Volume | 周长 Perimeter | 周期运动 Periodic Motion

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圆的基本元素

        B
       /|
      / |
     /  | ← 半径 r
    /   |
   O────┼──── A
   ↑    |
  圆心  直径 d = 2r

• 圆心 O：圆的中心
• 半径 r：圆心到圆上任意一点的距离（所有半径相等）
• 直径 d：过圆心的弦，$d=2r$
• 弦：连接圆上两点的线段（直径是最长的弦）

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核心公式

$\text{周长}C=2\pi r=\pi d$ $\text{面积}S=\pi r^2$

π（圆周率）：

• 精确值：3.14159265…（无限不循环小数）
• 小学计算用：$\pi \approx 3.14$
• 记忆：山顶一寺一壶酒（3.14159…）

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逻辑分析（Logic Lens）

为什么面积是 $\pi r^2$？

把圆切成极细的扇形，重新拼成一个近似长方形：

长 ≈ 圆周长的一半 = πr
宽 = 半径 r
面积 = πr × r = πr²

这就是积分思想在小学的直觉版本。

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例题精讲

例1（📘 基础）

圆的半径是5cm，求周长和面积。（$\pi =3.14$）

$C=2\times 3.14\times 5=31.4\text{ cm}$ $S=3.14\times 5^2=3.14\times 25=78.5{\text{ cm}}^2$

例2（📘 已知周长求半径）

一个圆的周长是62.8cm，求半径和面积。

$r=C÷(2\pi )=62.8÷6.28=10\text{ cm}$ $S=3.14\times 100=314{\text{ cm}}^2$

例3（📙 组合图形）

一个正方形内切一个圆（圆与四边相切），正方形边长10cm，求阴影部分面积。

$S_{阴影}=S_{正方形}-S_{圆}=10^2-3.14\times 5^2=100-78.5=21.5{\text{ cm}}^2$

例4（📙 环形）

大圆半径6cm，小圆半径4cm，求环形面积。

$S=\pi R^2-\pi r^2=3.14(36-16)=3.14\times 20=62.8{\text{ cm}}^2$

例5（📕 华罗庚）

半圆的直径在正方形的一条边上，半径等于边长之半，求正方形内半圆外的面积（阴影），设边长为 $a$。

$S=a^2-\frac{1}{2}\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2=a^2-\frac{\pi a^2}{8}=a^2\left(1-\frac{\pi }{8}\right)$

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练习题

📘 课标

1. 直径12cm的圆：周长和面积各是多少？
2. 一个圆形水池面积是200.96m²，求直径（$\pi =3.14$）
3. 画一个半径3cm的圆，标出圆心、半径、直径

📙 希望杯 4. 两个圆半径之比为2:3，面积之比是多少？周长之比呢？ 5. 用一根绳子围成圆形和正方形，哪个面积更大？（绳长相同）

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节点关系

周长（一维）→ 圆的周长 C=2πr
面积（二维）→ 圆的面积 S=πr²
    ↓ 进阶
体积（三维）→ 圆柱=πr²h，圆锥=⅓πr²h
    ↓ 深入
圆的性质（9年级）：切线、弦、弧、圆心角

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🏛 数学史光点

人物	年代	关键词
阿基米德（Archimedes）	~250BCE	夹逼法求π，3+10/71 < π < 3+1/7
刘徽（Liu Hui）	263	割圆术，π ≈ 3.14159
祖冲之（Zu Chongzhi）	480	密率 355/113，领先世界千年

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Code & Rob · K12数学库 · 6年级, 2026