组合选取 Counting Selections
年级：5-6年级 难度：📙 希望杯 / 📕 华罗庚 分类：排列与组合 年级入口：五年级 | 六年级 关联：排列计数 Counting Arrangements | 有序与无序 Order Matters | 乘法原理 Multiplication Principle
什么是”无顺序的计数”？
只关心”选了谁”，不关心”谁先谁后”。
举例：从甲乙丙3人中选2人组队，有几种选法？
用枚举法列出所有可能：
{甲,乙} {甲,丙} {乙,丙}
共 3 种。
对比排列（有顺序）：甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、乙丙、丙乙 = 6种 组合 = 排列 ÷ 重复次数：选2人的排列每种被重复计算 次，所以 种。
逻辑分析（Logic Lens）
先当排列数，再除以重复。
从 n 个中选 m 个（不管顺序）：
第1步：按排列算 → n×(n-1)×…×(n-m+1)
第2步：除以 m 个人的全排列数 → m×(m-1)×…×1
选取数 = [n×(n-1)×…×(n-m+1)] ÷ [m×(m-1)×…×1]
不写 ，那是高中符号。理解”先排再除”的逻辑即可。
一个好用的性质：从n个选m个 = 从n个选(n-m)个（选谁去 = 选谁不去）
例题精讲
例1（📙 基础枚举）
从4人{A,B,C,D}中选2人，共几种？
枚举：AB、AC、AD、BC、BD、CD = 6种
用”先排再除”验证： ✓
例2（📙 较大数字）
10人中选3人组成小组，共几种？
例3（📙 几何应用）
平面上8个点，任意3点不共线，共能连多少条线段？能组成多少个三角形？
线段：每2点确定1条， 条 三角形：每3点确定1个， 个
例4（📕 有限制条件）
10人中选4人，其中甲必须入选，共几种？
甲已定，从剩余9人中再选3人： 种
例5（📕 排列与选取混合）
从8人中选1人当队长、2人当队员，共几种安排？
选队长（有序，1个特定角色）：8种 选队员（无序，2人同等地位）： 种
答： 种
练习题
📙 希望杯
- 从7道题中选4道作答，共几种选法？
- 一个六边形，连接顶点共有多少条对角线？（提示：总连线数 - 边数）
- 班级选3名代表参加活动，共20人，有多少种选法？
📕 华罗庚 4. 从5男4女中选3人，至少含1名女生，共几种？ 5. 圆上有8个点，连接任意两点，共有多少条弦？其中有多少对弦互相平行？（难）
节点关系
有序无序（概念辨别）
↓
排列计数（有序：逐步乘）
组合选取（无序：先排再除）
↓ 进阶
混合问题（部分有序、部分无序）
🏛 数学史光点
| 人物 | 年代 | 关键词 |
|---|---|---|
| 杨辉（Yang Hui） | 1261 | 杨辉三角，组合数 |
| 帕斯卡（Pascal） | 1654 | 帕斯卡三角（Pascal’s Triangle） |
| 帕斯卡+费马（Pascal & Fermat） | 1654 | 概率论通信，组合计数奠基 |
Code & Rob · K12数学库 · 5-6年级, 2026