几何综合专题 Geometry Competition

年级：5-6年级 难度：📙📕（无📘层——这是竞赛副本入口） 分类：几何 年级入口：五年级 | 六年级 关联：面积公式 Area Formulas | 不规则面积 Irregular Area | 割补法 Cut and Fill | 等积变换 Equal Area Transformation | 体积 Volume | 圆 Circle

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专题定位

几何竞赛题的本质是：用已知面积推出未知面积。

你已经学过：

• 面积公式（长方形、三角形、平行四边形、梯形）
• 不规则面积（格点法、包围法）
• 割补法（把复杂图形切割重组）
• 等积变换（面积不变，形状改变）
• 体积（长方体、正方体、圆柱）
• 圆（周长 $C=2\pi r$，面积 $S=\pi r^2$）

竞赛几何的核心武器：

1. 等积变换（移多补少）
2. 割补重组（化曲为直）
3. 辅助线（添一条线，打开局面）

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逻辑分析（Logic Lens）

几何题的攻击路线：

① 认出基本图形（三角形、梯形、圆）
② 找等积关系（哪两块面积相等？）
③ 添辅助线（让等积关系变得可见）
④ 割补重组（把问题转化为已知公式）

最常用的等积技巧：

• 同底等高的三角形面积相等（底相同、高相同）
• 等底变换：三角形的顶点在与底边平行的线上移动，面积不变
• 割补法：从复杂图形里”借”一块，补到另一边，使图形规整

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例题精讲

⭐⭐ 希望杯级

题1：方格中的面积

在5×5的方格中，求下图阴影三角形的面积（每格边长1cm）。 三角形三顶点分别在 (0,0)，(5,2)，(1,5)。

解（格点公式法）：

用大矩形减去三个直角三角形：

• 大矩形：$5\times 5=25$
• 右下三角形：$\frac{1}{2}\times 5\times 2=5$
• 左上三角形：$\frac{1}{2}\times 1\times 5=2.5$
• 右上三角形：$\frac{1}{2}\times 4\times 3=6$

阴影面积：$25-5-2.5-6=11.5$ cm²

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题2：等积变换

平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，AE 和 BD 交于点 F。证明△ABF 的面积 = △DEF 的面积。

分析：

• △ABD 和 △ABC 共底 AB，但 △ABD 底是 AD，△ABC 底是 BC…

更直接的思路：

• E 是 BC 中点，所以 △ABE = △ACE（同底 AE，BE=CE 等高）
• △ABD = △ACD（对角线平分平行四边形）

结论： 用等积关系逐步推导，每步只移动一块面积，最终两个三角形面积相等。

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题3：圆与方的组合

一个边长为10cm的正方形，在其4个角各画一个四分之一圆（半径5cm）。求4个四分之一圆覆盖的总面积，以及正方形中没被覆盖的面积。

解：

• 4个四分之一圆 = 1个整圆，半径5cm
• 圆面积：$\pi \times 5^2=25\pi \approx 78.5$ cm²
• 正方形面积：$10^2=100$ cm²
• 未覆盖面积：$100-25\pi \approx 100-78.5=21.5$ cm²

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⭐⭐⭐ 华罗庚级

题4：等积变换证面积

如图，△ABC 中，D 是 BC 上一点，BD:DC = 2:3。E 是 AD 的中点。求 △ABE 与 △ABC 的面积之比。

解：

• △ABD 与 △ABC：同高（A到BC的高），底之比 BD:BC = 2:5
• 所以 $S_{ABD}=\frac{2}{5}{S}_{ABC}$
• △ABE 与 △ABD：同底 AB，E 是 AD 中点，高之比 = 1:2
• 所以 $S_{ABE}=\frac{1}{2}{S}_{ABD}=\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}{S}_{ABC}=\frac{1}{5}{S}_{ABC}$

答：$S_{ABE}:S_{ABC}=1:5$

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题5：割补圆弧

如图，以正方形一条边为直径画半圆，半圆在正方形内。正方形边长为2cm。求月牙形（半圆外、正方形内的区域）的面积。

解：

• 正方形面积：$2^2=4$ cm²
• 半圆面积：$\frac{1}{2}\pi \times 1^2=\frac{\pi }{2}$ cm²
• 月牙形 = 正方形 - 半圆 = $4-\frac{\pi }{2}\approx 4-1.57=2.43$ cm²

进阶： 如果两侧各画一个半圆，两个月牙形的面积之和等于多少？（提示：等积变换，答案是正方形面积的一半）

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题6：体积与表面积综合

一个长方体的长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm。将它切成两个完全相同的小长方体（沿长边方向切），每个小长方体的表面积是多少？原长方体的表面积是多少？增加了多少？

解：

• 原长方体表面积：$2(4\times 3+4\times 2+3\times 2)=2(12+8+6)=52$ cm²
• 切面是 $3\times 2=6$ cm²，切开后暴露两个切面
• 每个小长方体：原表面积一半 + 一个切面 = $26+6=32$ cm²
• 两个小长方体总表面积：$32\times 2=64$ cm²
• 增加：$64-52=12$ cm²（恰好是两个切面）

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练习题

📙 希望杯练习

1. 三角形 ABC 中，M 是 AB 中点，N 是 AC 中点，△AMN 的面积是 △ABC 的几分之几？

2. 以边长为6cm的正方形的4条边各为直径，向外画4个半圆。整个图形的面积是多少？

3. 一个梯形的上底4cm，下底8cm，高5cm。在梯形内画一条中位线，把梯形分成两个梯形，分别求两个小梯形的面积。

📕 华罗庚练习

4. △ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 是角平分线。若 AB=6，AC=4，△ABD 与 △ACD 的面积之比是多少？（提示：角平分线定理）

5. 如图，大圆半径4cm，小圆半径2cm，小圆圆心在大圆上。求阴影部分（大圆内、小圆外）的面积。

6. 把一个边长为6cm的正方形，沿对角线切成4个三角形，再重新拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少？（提示：先想清楚拼法）

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节点关系

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    面积公式 割补法 等积变换 不规则面积  圆
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                               体积（立体延伸）

四大竞赛专题全图：

计数综合专题 ←→ 数论综合专题
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行程综合专题 ←→ 几何综合专题

四个专题节点在 Obsidian 图谱里形成 Aaron 的竞赛星云核心。

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Code & Rob · K12数学库 · 5-6年级竞赛专题, 2026