比与比例 Ratio and Proportion

年级：6年级 难度：📘 课标 / 📙 希望杯 分类：基础运算 年级入口：六年级 关联：分数运算 Fraction Operations | 百分数 Percentages | 速度与行程 Speed and Distance

---

比（Ratio）

比 = 两个量相除的关系

$a:b=\frac{a}{b}(b\ne 0)$

• $3:4$ 读作”3比4”，比值 = $\frac{3}{4}=0.75$
• 化简比：$6:10=3:5$（同除公因数2）
• 比可以有单位，但比值无单位

---

比例（Proportion）

比例 = 两个比相等

$a:b=c:d\iff \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff ad=bc$

比例的基本性质（交叉相乘）：

$\frac{3}{4}=\frac{6}{8}\Rightarrow 3\times 8=4\times 6=24✓$

---

正比例与反比例

	正比例	反比例
关系	$y=kx$（k不变）	$xy=k$（k不变）
变化方向	同向变化（x大y大）	反向变化（x大y小）
例子	单价固定，总价∝数量	速度×时间=路程（路程固定）
图像	过原点直线	双曲线（初中学）

---

按比分配

总量按比例分成几份：

$总量\times \frac{\text{该份的比值}}{\text{比值之和}}$

例：240元按3:5分给甲乙： $甲=240\times \frac{3}{3+5}=240\times \frac{3}{8}=90\text{元}$ $乙=240\times \frac{5}{8}=150\text{元}$

---

例题精讲

例1（📘 基础）

化简比：$0.6:0.9$；$\frac{3}{4}:\frac{2}{3}$

$0.6:0.9=6:9=2:3$

$\frac{3}{4}:\frac{2}{3}=\frac{3}{4}\times 12:\frac{2}{3}\times 12=9:8$（同乘LCM=12）

例2（📙 按比分配）

学校图书馆有书3600册，科技书与文学书之比为5:7，各有多少册？

科技书：$3600\times \frac{5}{12}=1500$ 册 文学书：$3600\times \frac{7}{12}=2100$ 册

例3（📙 比例求未知数）

$x:8=15:24$，求 $x$。

$24x=8\times 15=120$，$x=5$

例4（📙 正反比例判断）

汽车行驶，速度不变，路程和时间是什么比例关系？ 路程不变，速度和时间是什么比例关系？

• 速度不变：路程=速度×时间，路程与时间正比例
• 路程不变：速度×时间=路程（常数），速度与时间反比例

例5（📕 华罗庚）

甲乙丙三人分一笔钱，甲:乙=2:3，乙:丙=4:5，甲共得480元，这笔钱共多少元？

统一比：甲:乙:丙 = 8:12:15 甲占 $\frac{8}{35}$，对应480元 总钱 = $480÷\frac{8}{35}=480\times \frac{35}{8}=2100$ 元

---

练习题

📘 课标

1. 化简：$1.5:2.5$；$\frac{5}{6}:\frac{10}{9}$
2. 班级男女生比为3:2，共45人，男女各几人？
3. 判断正反比例：买书，册数和总价（单价固定）；装水，时间和水深（流量固定）

📙 希望杯 4. 一杯盐水，盐与水的比为1:19，蒸发掉50克水后盐与水的比变为1:9，原来有多少克盐？ 5. 地图比例尺1:500000，图上5cm代表实际多少km？

---

节点关系

分数运算（比 = 分数的另一种写法）
    ↓
比与比例
    ↓ 应用
按比分配（黄金分割、配比问题）
正比例函数 y=kx（7年级）
地图比例尺、缩放
    ↓ 特殊
百分数（比值×100%）

---

🏛 数学史光点

人物	年代	关键词
欧多克索斯（Eudoxus）	~370BCE	比例理论，《原本》卷V
斐波那契（Fibonacci）	1202	Liber Abaci，商业比例计算传入欧洲

---

Code & Rob · K12数学库 · 6年级, 2026