数论综合专题 Number Theory Competition

年级：5-6年级 难度：📙📕（无📘层——这是竞赛副本入口） 分类：数论 年级入口：五年级 | 六年级 关联：质因数分解 Prime Factorization | 公约数与公倍数 GCD and LCM | 余数 Remainder

---

专题定位

数论是竞赛数学的底层引擎。

计数综合里的”最小公倍数求周期”，行程综合里的”三人同时追上”，都在调用数论工具。数论本身也有自己的竞赛题型：整除性判断、余数周期、质因数分析。

你已经学过：

• 质因数分解（短除法、分解树）
• 公约数与公倍数（辗转相除法、最大公因数）
• 余数（同余关系、余数的加减乘规律）

这里的题，考验你对数的结构的直觉。

---

逻辑分析（Logic Lens）

数论题的三把钥匙：

① 质因数分解 → 看一个数"由什么组成"
   → GCD = 公共质因数（取小指数）
   → LCM = 全部质因数（取大指数）

② 余数分析 → 看规律、找周期
   → 余数不够减时：借位（模运算）
   → 多个余数条件：中国剩余定理思路（小学版：列表找规律）

③ 整除性检验 → 快速判断
   → 2：末位偶数
   → 3：各位数字之和被3整除
   → 9：各位数字之和被9整除
   → 5：末位0或5

---

例题精讲

⭐⭐ 希望杯级

题1：最大公因数应用

有两根木棒，长度分别为120cm和84cm，要将它们都截成等长的小段（不浪费），每段最长是多少？能截出多少段？

解：

• $\gcd (120,84)$：
  • $120=2^3\times 3\times 5$
  • $84=2^2\times 3\times 7$
  • $\gcd =2^2\times 3=12$ cm
• 120cm → $120÷12=10$ 段
• 84cm → $84÷12=7$ 段
• 共 $10+7=17$ 段

---

题2：余数的规律

一个数除以7余3，除以5余1。满足这两个条件的最小正整数是多少？

分析： 列表找规律

除以7余3的数：3, 10, 17, 24, 31, 38, … 从中找除以5余1的：

• 3 ÷ 5 = 0…3 ✗
• 10 ÷ 5 = 2…0 ✗
• 17 ÷ 5 = 3…2 ✗
• 24 ÷ 5 = 4…4 ✗
• 31 ÷ 5 = 6…1 ✓

答：$31$

---

题3：整除判断

在□471□中，前后各填一个数字，使这个五位数既能被3整除，又能被5整除。有多少种填法？

分析：

• 被5整除：末位必须是0或5
• 被3整除：所有位数字之和被3整除

末位是0：□ + 4 + 7 + 1 + 0 = □ + 12，需□使 (□+12) 被3整除 → □ = 0, 3, 6, 9（4种） 末位是5：□ + 4 + 7 + 1 + 5 = □ + 17，需□使 (□+17) 被3整除 → □+17 ≡ 0(mod3) → □ ≡ 1(mod3) → □ = 1, 4, 7（3种）

答：$4+3=7$ 种

---

⭐⭐⭐ 华罗庚级

题4：质因数分解 + 因子个数

2024有多少个因数？

解：

• $2024=8\times 253=8\times 11\times 23=2^3\times 11\times 23$
• 因数个数公式：$(3+1)(1+1)(1+1)=4\times 2\times 2=16$ 个

规律：$n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times \cdots$ → 因数个数 = $(a_1+1)(a_2+1)\cdots$

---

题5：余数与周期

今天是星期三，100天后是星期几？

解：

• $100=7\times 14+2$
• 余2，往后2天：星期三 + 2 = 星期五

进阶版：

$2^{2026}$ 除以7的余数是多少？

解： 找 $2^n\mathrm{mod}7$ 的周期：

• $2^1=2$, 余2
• $2^2=4$, 余4
• $2^3=8$, 余1
• $2^4=16$, 余2 ← 周期为3

$2026=3\times 675+1$，余1 → 同 $2^1$ → 余 $2$

---

题6：GCD + LCM 综合

两个正整数，GCD（最大公因数）为12，LCM（最小公倍数）为360。若其中一个数是60，另一个数是多少？

解：

• 利用性质：$a\times b=\gcd (a,b)\times \text{lcm}(a,b)$
• $60\times b=12\times 360=4320$
• $b=4320÷60=72$

验证： $\gcd (60,72)=12$ ✓，$\text{lcm}(60,72)=360$ ✓

---

题7：华罗庚压轴

从1到1000中，能被3整除但不能被5整除的数有多少个？

解：

• 能被3整除：$\lfloor 1000/3\rfloor =333$ 个
• 能被15整除（被3又被5整除）：$\lfloor 1000/15\rfloor =66$ 个
• 答：$333-66=267$ 个

这道题”数论 × 容斥原理”双打——见到了吗？知识图谱的边在真实题目里发光。

---

练习题

📙 希望杯练习

1. 求 $\gcd (180,126)$ 和 $\text{lcm}(180,126)$。

2. 一个数除以8余5，除以3余2，满足条件的最小正整数是多少？

3. 判断 123456789 能否被9整除？能否被3整除？

📕 华罗庚练习

4. $3^{100}$ 除以7的余数是多少？（先找 $3^n\mathrm{mod}7$ 的周期）

5. 一个正整数有且仅有12个因数，且该数能被6整除，求满足条件的最小正整数。

6. 从1到500中，能被2整除或能被7整除的数有多少个？（用容斥原理）

---

节点关系

        【数论综合专题】← Aaron竞赛入口
        /      |       \
   质因数分解  公约数公倍数  余数
        ↓           ↓
   因子计数    周期运动（运动问题联动）
                  ↑
          计数综合专题（容斥联动）

跨域联动：

• 题7 = 数论 × 容斥原理（计数综合专题 Counting Competition）
• 周期余数 = 数论 × 周期运动（行程综合专题 Motion Competition）
• 这三个专题节点共同构成 Aaron 的竞赛图谱核心

---

Code & Rob · K12数学库 · 5-6年级竞赛专题, 2026