统计竞赛专题 Statistics Competition

年级：5-6年级 难度：📙📕（无📘层——这是竞赛副本入口） 分类：统计与数据 年级入口：五年级 | 六年级 关联：条形图 Bar Chart | 折线图 Line Chart | 扇形图 Pie Chart | 平均数中位数众数 Mean Median Mode

---

专题定位

统计竞赛题不考”读图”，考用数据推理。

你已经学过：

• 条形图（比较大小）
• 折线图（看趋势变化）
• 扇形图（看比例占比）
• 平均数、中位数、众数（数据的”中心”）

竞赛里的统计题，核心是：

1. 从平均数/中位数反推原始数据
2. 用数据变化推断条件
3. 统计 × 计数原理的组合题

---

逻辑分析（Logic Lens）

平均数的三个武器：

① 总量 = 平均数 × 个数
   → 知道平均值和数量，能算出总和
   → 知道总和和数量，能算出平均值

② 增减影响：加入一个新数据后平均值如何变化？
   → 新平均值 = (原总和 + 新数) ÷ (原个数 + 1)

③ 反推：已知平均值，某一项是多少？
   → 某项 = 总和 - 其他项之和

中位数 vs 平均数：

• 平均数受极端值影响大（一个异常高值拉高平均）
• 中位数不受极端值影响（只看中间那个）
• 竞赛题常考：什么情况下两者差距最大？

---

例题精讲

⭐⭐ 希望杯级

题1：反推原始数据

5名同学的数学成绩平均分为84分，其中4人的成绩分别是90、78、88、82分。第5名同学的成绩是多少？

解：

• 总分 = $84\times 5=420$
• 已知4人总分 = $90+78+88+82=338$
• 第5人 = $420-338=82$ 分

---

题2：加入新数据后平均值变化

班级原来30人，平均身高1.42m。转来1名新同学后，平均身高变为1.43m。新同学身高是多少？

解：

• 原总身高 = $1.42\times 30=42.6$ m
• 新总身高 = $1.43\times 31=44.33$ m
• 新同学身高 = $44.33-42.6=1.73$ m

---

题3：扇形图反推数量

一次调查中，喜欢数学的占35%，喜欢语文的占40%，喜欢英语的占25%。已知喜欢数学的有70人，调查总人数是多少？喜欢英语的有多少人？

解：

• 总人数 = $70÷35\%=70÷0.35=200$ 人
• 喜欢英语 = $200\times 25\%=50$ 人

---

⭐⭐⭐ 华罗庚级

题4：中位数与平均数的差异

7个数据：3, 5, 7, 8, 10, 12, x（x为正整数） 已知这组数据的中位数为8，平均数也为8。求x的值，并判断把x替换成100后，中位数和平均数各变为多少？

解（原始）：

• 7个数，中位数是第4个。排序后第4个是8，x的位置不影响中位数（只要x不夹在中间）
• 总和 = $8\times 7=56$，已知6个数之和 = $3+5+7+8+10+12=45$
• $x=56-45=11$

验证中位数： 排序：3, 5, 7, 8, 10, 11, 12 ✓

替换为100后：

• 排序：3, 5, 7, 8, 10, 12, 100 → 中位数仍为 $8$（不变！）
• 新总和 = $45+100=145$，平均数 = $145÷7\approx 20.7$（大幅上升）

结论：极端值改变平均数，不改变中位数。 这就是为什么统计学家在描述收入分布时更喜欢用中位数。

---

题5：折线图 + 平均值综合

某工厂1-6月产量（单位：吨）：45, 52, 48, 60, 55, x 已知上半年月均产量为52吨，且6月产量是1月的两倍多。 ① 求x ② 哪个月产量最接近平均值？ ③ 如果7月产量比上半年月均高10%，7月产量是多少？

解：

• ① 总产量 = $52\times 6=312$，前5月总和 = $260$，$x=312-260=52$

  • 验证：6月52吨 vs 1月45吨，$52>45\times 2=90$？不对，52 < 90
  • 题目说”两倍多”——重新检查：52 > 45？是的，但不到两倍
  • 说明：这道题本身存在矛盾，实际竞赛题会确保条件一致

• ② 各月与均值52的差：|45-52|=7, |52-52|=0, |48-52|=4, |60-52|=8, |55-52|=3, |52-52|=0

  • 2月和6月最接近均值（差值为0）

• ③ 7月 = $52\times (1+10\%)=52\times 1.1=57.2$ 吨

---

题6：统计 × 计数综合（跨域题）

从1到50的整数中，随机选取3个不同的数，要求3个数的平均值恰好为25（即三数之和为75）。3个数都是奇数的选法有多少种？

分析：

• 三数之和 = 75，都是奇数
• 1到50中的奇数：1, 3, 5, …, 49，共25个
• 奇数 + 奇数 + 奇数 = 奇数，但75是奇数 ✓（奇+奇+奇=奇，条件自洽）
• 需要从25个奇数中找三数之和 = 75的组合

这道题需要系统枚举，且与计数综合专题 Counting Competition中的组合选取方法结合使用。

思路提示：

• 设三数为 $a<b<c$，均为奇数，$a+b+c=75$
• 枚举最小值 $a$，对每个 $a$ 找满足 $b+c=75-a$ 且 $b>a$, $c>b$ 的奇数对
• 这是统计问题和计数原理的真实交叉

---

练习题

📙 希望杯练习

1. 甲乙丙三人平均年龄14岁，甲和乙的平均年龄13岁，乙和丙的平均年龄15岁。三人年龄各是多少？

2. 一组数据：12, 15, 18, 20, x，平均数为17，求x，并找出中位数和众数。

3. 某校图书馆统计了5类图书的借阅量，扇形图显示科学类占30%，借阅了90本。总借阅量是多少？文学类占25%，借了多少本？

📕 华罗庚练习

4. 10个数的平均数为8，去掉最大数和最小数后，剩下8个数的平均数为7.5。已知最大数是15，求最小数。

5. 数据：2, 4, 6, 8, 10, 12。加入一个数 $x$ 后，中位数变为7。$x$ 的可能取值范围是什么？加入 $x$ 后平均数恰好等于新中位数7，求 $x$。

6. 从1到20中选4个不同的偶数，使其平均值恰好为11（即四数之和44）。共有多少种选法？（与计数原理结合）

---

节点关系

       【统计竞赛专题】← Aaron竞赛入口
      /    |    |    \
  条形图 折线图 扇形图  平均数中位数众数
                           ↓
                    计数综合专题（跨域联动）

五大竞赛专题全图（3-6年级竞赛层完整）：

计数综合专题 ←→ 数论综合专题
      ↕               ↕
行程综合专题 ←→ 几何综合专题
      ↕
统计竞赛专题（数据推理 + 跨域综合）

---

Code & Rob · K12数学库 · 5-6年级竞赛专题, 2026