周期运动 Periodic Motion

难度：⭐⭐⭐（Aaron 5年级进阶）分类：运动问题年级入口：六年级关联：相遇与追及 Meeting and Chasing | 余数 Remainder | 公约数与公倍数 GCD and LCM

核心概念

周期：运动重复一个完整循环所需的时间（或路程）。

周期运动三类模型：

甲速 $v_{1}$ ，乙速 $v_{2}$ （ $v_{1} > v_{2}$ ），环形跑道周长 $L$ ：

$T_{追及} = \frac{L}{v _{1} - v _{2}}$

每过这个时间，甲就多跑一圈，追上乙一次。

分针速 $6°$ /分钟，时针速 $0.5°$ /分钟，相对速度 $5.5°$ /分钟。

分针追上时针（一次重合）的时间：

$t = \frac{360°}{5.5°/ 分} = \frac{720}{11} \approx 65.45 分钟$

12小时内共重合： $\frac{720}{720/11} = 11$ 次（不是12次，因为12点起止算一次）

周期运动的本质是余数（Remainder）：

已过时间 ÷ 周期 = 商……余数
余数决定当前状态

任何”第N次发生在什么时刻”的问题，都是： $t = (N - 1) \times T + t_{0}$ （第一次发生的时刻）

400m跑道，甲8m/s，乙5m/s同向出发，几秒后第5次相遇？

追及周期： $T = 400 \div (8 - 5) = 400 \div 3 \approx 133.3$ 秒

第5次： $t = 5 \times T = 5 \times \frac{400}{3} = \frac{2000}{3} \approx 666.7$ 秒

3点钟，时针分针夹角90°，下次夹角再次为90°是几点几分？

3点时，时针在90°位置，分针在0°，差90°。分针追时针速 5.5°/分。

下次90°（分针追过去，但差变为270°或90°）：

分针需追 $360 - 90 = 270°$ ： $t = 270/5.5 = \frac{540}{11} \approx 49.1$ 分即 3点 $49 \frac{1}{11}$ 分

余数（周期的数学基础）
公倍数（找公共周期）
    ↓ 应用
周期运动
  → 环形跑道
  → 钟表问题
  → 日历星期

Code & Rob · K12数学库, 2026