面积公式 Area Formulas

难度：⭐（Justin 3年级 / Aaron 5年级基础） 分类：几何 年级入口：五年级 关联：不规则面积 Irregular Area | 等积变换 Equal Area Transformation

---

基本公式速查表

图形	公式	记忆口诀
正方形	$S=a^2$	边长的平方
长方形	$S=l\times w$	长乘宽
平行四边形	$S=b\times h$	底乘高
三角形	$S=\frac{1}{2}b\times h$	底乘高除以2
梯形	$S=\frac{(a+b)\times h}{2}$	上底加下底，乘高除以2
圆	$S=\pi r^2$	π乘半径的平方

高：必须是对应底边的垂直距离，不是斜边！

---

逻辑分析（Logic Lens）

所有面积公式都源于长方形：

三角形 = 长方形的一半（对角线切开）
平行四边形 = 三角形 × 2（或长方形等积变形）
梯形 = 两个三角形 / 或 平行四边形的变体

理解推导过程比死记公式更重要——忘了公式还能自己推导出来。

---

公式推导（给Aaron）

三角形面积推导： 任意三角形都能被一个长方形包住，三角形恰好是长方形的一半。 $S_{三角形}=\frac{1}{2}\times 底\times 高$

梯形面积推导： 把两个完全相同的梯形拼在一起，形成平行四边形。 $S_{平行四边形}=(上底+下底)\times 高$ $S_{梯形}=\frac{(上底+下底)\times 高}{2}$

---

例题精讲

例1（Justin ⭐）

长方形长8cm，宽5cm，面积是多少？

$S=8\times 5=40{\text{ cm}}^2$

---

例2（Aaron ⭐⭐）

梯形上底6cm，下底10cm，高4cm，面积是多少？

$S=\frac{(6+10)\times 4}{2}=\frac{64}{2}=32{\text{ cm}}^2$

---

例3（组合图形 ⭐⭐）

一个图形由长方形（8×5）和半圆（直径8cm）拼成，总面积是多少？（π取3.14）

$S=8\times 5+\frac{1}{2}\times 3.14\times 4^2=40+25.12=65.12{\text{ cm}}^2$

---

Aaron 练习题

1. 三角形底12cm，高7cm，面积是多少？
2. 平行四边形底15cm，高8cm，面积是多少？如果改成长方形，面积相同，长为15cm，宽是多少？
3. 一块地是梯形，上底20m，下底30m，高15m，面积是多少亩？（1亩 = 666.7m²）

Justin 练习题

1. 正方形边长9cm，面积是多少？
2. 一张桌子长1.2m，宽0.8m，面积是多少？

---

节点关系

面积公式（基础）
    ↓
不规则面积（割补法/等积变换）
    ↓
体积（面积 × 高）
    ↑ 联系
等积变换（面积相同，形状不同）

---

🏛 数学史光点

人物	年代	关键词
古埃及人（Egyptians）	~2000BCE	三角形与梯形面积估算
阿基米德（Archimedes）	~250BCE	抛物线面积，穷竭法（Exhaustion）
刘徽（Liu Hui）	263	割圆术，中国的穷竭法

---

Code & Rob · K12数学库, 2026