K12 数学库 · 课程全图
作者：Code & Rob · 1984, 2026 难度标记：📘 课标 📙 希望杯 📕 华罗庚金杯
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难度层说明（3-6年级）
| 标记 | 品牌 | 典型题目特征 |
|---|---|---|
| 📘 课标 | 人教版必考 | 直接套公式，一步两步解决 |
| 📙 希望杯 | 全国希望杯（小学组） | 需要组合方法，有一定技巧 |
| 📕 华罗庚 | 华罗庚金杯 | 需要洞察规律，多步推理 |
难度层说明（7-9年级）
| 标记 | 品牌 | 典型题目特征 |
|---|---|---|
| 📘 课标 | 人教版初中数学 | 中考必学 |
| 📙 希望杯 | 全国希望杯（初中组） | 思维拓展，校级/市级 |
| 📕 联赛 | 全国初中数学联赛 | 省市精英，竞赛晋级 |
难度层说明（10-12年级）
| 标记 | 品牌 | 典型题目特征 |
|---|---|---|
| 📘 课标 | 人教版高中数学 A/B版 | 高考必学 |
| 📙 联赛 | 全国高中数学联赛（预赛） | 竞赛入门，省市选拔 |
| 📕 CMO·AMC | 中国数学奥林匹克 / AMC10-12 | 国家队预备，国际舞台 |
Aaron：建议从当前年级📘出发，📙目标，📕挑战 Justin：📘全拿稳，再看📙是否有兴趣
3年级
数与运算
| 节点 | 📘 课标 | 📙 希望杯 | 📕 华罗庚 |
|---|---|---|---|
| 乘法基础 Multiplication | ✅ 已建 | — | — |
| 除法基础 Division | ✅ 已建 | — | — |
| 分数初步 Intro to Fractions | ✅ 已建 | — | — |
| 小数初步 Intro to Decimals | ✅ 已建 | — | — |
度量与时间
几何
数据与统计
| 节点 | 📘 课标 | 📙 希望杯 | 📕 华罗庚 |
|---|---|---|---|
| 条形图 Bar Chart | ✅ 已建 | — | — |
4年级
数与运算
| 节点 | 📘 课标 | 📙 希望杯 | 📕 华罗庚 |
|---|---|---|---|
| 大数的认识 Large Numbers | ✅ 已建 | — | — |
| 小数运算 Decimal Operations | ✅ 已建 | ✅ 含进阶 | — |
| 分数与小数互转 Fractions & Decimals | ✅ 已建 | — | — |
几何
| 节点 | 📘 课标 | 📙 希望杯 | 📕 华罗庚 |
|---|---|---|---|
| 角的认识 Angles | ✅ 已建 | ✅ 含进阶 | — |
| 三角形分类 Triangle Types | ✅ 已建 | ✅ 含进阶 | — |
| 平行与垂直 Parallel & Perpendicular | ✅ 已建 | — | — |
数据与统计
| 节点 | 📘 课标 | 📙 希望杯 | 📕 华罗庚 |
|---|---|---|---|
| 折线统计图 Line Chart | ✅ 已建 | — | — |
5年级
数与运算
| 节点 | 📘 课标 | 📙 希望杯 | 📕 华罗庚 |
|---|---|---|---|
| 分数运算 Fraction Operations | ✅ 已建 | ✅ 含进阶 | ✅ 含竞赛 |
| 质因数分解 Prime Factorization | ✅ 已建 | ✅ 含进阶 | ✅ 含竞赛 |
| 公约数与公倍数 GCD & LCM | ✅ 已建 | ✅ 含进阶 | — |
| 余数 Remainder | ✅ 已建 | ✅ 含进阶 | ✅ 含竞赛 |
| ★ 数论综合专题 Number Theory Competition | — | ✅ 已建 | ✅ 含竞赛 |
计数原理（小学奥数）
| 节点 | 📘 课标 | 📙 希望杯 | 📕 华罗庚 |
|---|---|---|---|
| 乘法原理 Multiplication Principle | ✅ 已建 | ✅ 含进阶 | — |
| 加法原理 Addition Principle | ✅ 已建 | ✅ 含进阶 | — |
| 容斥原理 Inclusion-Exclusion | — | ✅ 已建 | ✅ 含竞赛 |
| 排列计数（树图法）Counting Arrangements | — | ✅ 已建 | — |
| 组合选取（枚举法）Counting Selections | — | ✅ 已建 | — |
| ★ 计数综合专题 Counting Competition | — | ✅ 已建 | ✅ 含竞赛 |
几何
运动问题
| 节点 | 📘 课标 | 📙 希望杯 | 📕 华罗庚 |
|---|---|---|---|
| 速度与行程 Speed & Distance | ✅ 已建 | ✅ 含进阶 | — |
| 相遇与追及 Meeting & Chasing | — | ✅ 已建 | ✅ 含竞赛 |
| ★ 行程综合专题 Motion Competition | — | ✅ 已建 | ✅ 含竞赛 |
6年级
数与运算
| 节点 | 📘 课标 | 📙 希望杯 | 📕 华罗庚 |
|---|---|---|---|
| 比与比例 Ratio & Proportion | ✅ 已建 | ✅ 含进阶 | ✅ 含竞赛 |
| 百分数 Percentages | ✅ 已建 | ✅ 含进阶 | — |
| 负数初步 Intro to Negatives | ✅ 已建 | — | — |
几何
| 节点 | 📘 课标 | 📙 希望杯 | 📕 华罗庚 |
|---|---|---|---|
| 圆的面积与周长 Circle | ✅ 已建 | ✅ 含进阶 | ✅ 含竞赛 |
| 体积 Volume | ✅ 已建 | ✅ 含进阶 | — |
| 等积变换 Equal Area Transform | — | ✅ 已建 | ✅ 含竞赛 |
| ★ 几何综合专题 Geometry Competition | — | ✅ 已建 | ✅ 含竞赛 |
计数进阶
数据与统计
| 节点 | 📘 课标 | 📙 希望杯 | 📕 华罗庚 |
|---|---|---|---|
| 扇形统计图 Pie Chart | ✅ 已建 | — | — |
| 平均数中位数众数 Mean/Median/Mode | ✅ 已建 | ✅ 含进阶 | — |
| ★ 统计竞赛专题 Statistics Competition | — | ✅ 已建 | ✅ 含竞赛 |
7-9年级（预留槽）
当前阶段暂不建设，结构占位，随时可扩展。 竞赛品牌升级：📙 全国希望杯初中组 → 📕 全国初中数学联赛（初联）
7年级（初一）
| 节点方向 | 📘 课标 | 📙 希望杯初中组 | 📕 初中联赛 |
|---|---|---|---|
| 有理数与实数 | 🔲 占位 | — | — |
| 一元一次方程 | 🔲 占位 | — | — |
| 平面几何基础（角、三角形、全等初步） | 🔲 占位 | — | — |
| 函数概念初步 | 🔲 占位 | — | — |
8年级（初二）
| 节点方向 | 📘 课标 | 📙 希望杯初中组 | 📕 初中联赛 |
|---|---|---|---|
| 二元一次方程组 | 🔲 占位 | — | — |
| 不等式 | 🔲 占位 | — | — |
| 全等三角形 | 🔲 占位 | — | — |
| 勾股定理 | 🔲 占位 | — | — |
| 一次函数 | 🔲 占位 | — | — |
9年级（初三）
| 节点方向 | 📘 课标 | 📙 希望杯初中组 | 📕 初中联赛 |
|---|---|---|---|
| 一元二次方程 | 🔲 占位 | — | — |
| 二次函数与抛物线 | 🔲 占位 | — | — |
| 圆的性质 | 🔲 占位 | — | — |
| 相似三角形 | 🔲 占位 | — | — |
| 统计与概率 | 🔲 占位 | — | — |
10-12年级（预留槽）
高中阶段。排列（）、组合（）等正式符号体系在此引入。 竞赛品牌升级：📙 全国高中数学联赛（预赛/初赛） → 📕 CMO · AMC10-12
10年级（高一）
| 节点方向 | 📘 课标 | 📙 高中联赛 | 📕 CMO·AMC |
|---|---|---|---|
| 集合与逻辑 | 🔲 占位 | — | — |
| 排列组合（正式符号 、） | 🔲 占位 | 🔲 占位 | — |
| 概率论 | 🔲 占位 | — | — |
11年级（高二）
| 节点方向 | 📘 课标 | 📙 高中联赛 | 📕 CMO·AMC |
|---|---|---|---|
| 数列（等差/等比/递推） | 🔲 占位 | 🔲 占位 | — |
| 三角函数 | 🔲 占位 | — | — |
| 导数初步 | 🔲 占位 | — | — |
| 立体几何 | 🔲 占位 | 🔲 占位 | — |
12年级出口 · 数学的无限空间
这里不是考试的终点，而是数学宇宙的入口。 你对哪类问题着迷，就从那里走进去。
〔一〕数学研究”大小与变化”
❓ 一颗行星的轨道，一滴水的流动，怎么用数字描述？
微积分 Calculus
牛顿（Newton）1666 / 莱布尼茨（Leibniz）1675
→ 分析学（Analysis）→ 复分析（Complex Analysis）
→ 偏微分方程（PDE）→ 物理学、工程学的数学语言
悬案：黎曼猜想（Riemann Hypothesis）
黎曼（Riemann）1859 · 素数的分布规律 · 至今未证 · 值 $1,000,000
〔二〕数学研究”形状与空间”
❓ 一个甜甜圈和一个咖啡杯，数学上是同一种东西？
拓扑学 Topology
庞加莱（Poincaré）1895
→ 研究形状的"本质"，与大小无关
→ 庞加莱猜想（Poincaré Conjecture）·
佩雷尔曼（Perelman）2003年证明 · 拒绝领 $1,000,000 奖金
微分几何 Differential Geometry
黎曼（Riemann）1854
→ 爱因斯坦（Einstein）1915 · 广义相对论的数学骨架
→ 弯曲空间中的直线是什么？
分形 Fractals
曼德布罗特（Mandelbrot）1975
→ 海岸线到底有多长？（答案：取决于你用多小的尺子量）
→ 自然界里的数学：雪花、树杈、肺部结构
代数几何 Algebraic Geometry
→ 费马大定理（Fermat's Last Theorem）
费马（Fermat）1637年写下猜想，怀尔斯（Wiles）1995年证明
一个猜想让人类等了 358 年
〔三〕数学研究”结构与规律”
❓ 为什么五次方程没有求根公式？为什么素数能保护你的银行账户？
抽象代数 Abstract Algebra
伽罗瓦（Galois）1832 · 21岁决斗前夜写下群论
→ 群（Group）· 环（Ring）· 域（Field）
→ 对称性的数学语言
解析数论 Analytic Number Theory
欧拉（Euler）1737 / 黎曼（Riemann）1859
→ 素数：无限多，但分布有隐藏规律
→ Langlands 纲领：数论与几何的大统一梦想
密码学 Cryptography
迪菲+赫尔曼（Diffie & Hellman）1976 / RSA 1977
→ 你和银行之间的秘密，靠大数分解的困难性保护
→ 椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography）· 比特币的数学基础
〔四〕数学研究”可能与随机”
❓ 赌场为什么永远不输？蝴蝶扇翅膀真的会引起台风吗？
概率论 Probability Theory
帕斯卡+费马（Pascal & Fermat）1654 通信奠基
柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）1933 公理化
→ 统计学 → 机器学习 → AI 的数学根基
信息论 Information Theory
香农（Shannon）1948 · 《通信的数学理论》
→ 一条消息最少需要多少 bit？
→ 数据压缩、噪声、互联网传输的底层逻辑
博弈论 Game Theory
纳什（Nash）1950 · 纳什均衡
→ 理性的人为什么会集体做出坏选择？（囚徒困境）
→ 经济学、进化生物学、AI 对弈的数学
混沌理论 Chaos Theory
洛伦兹（Lorenz）1963 · 蝴蝶效应
→ 确定性方程 + 微小误差 = 完全不可预测
→ 天气预报为什么只能预测几天？
〔五〕数学研究”能与不能”
❓ 有没有数学无法证明的真命题？有没有计算机永远解决不了的问题？
数理逻辑 Mathematical Logic
哥德尔（Gödel）1931 · 不完备定理
→ 任何足够强的数学系统，都存在真但无法证明的命题
→ 数学自身的边界
图论 Graph Theory
欧拉（Euler）1736 · 哥尼斯堡七桥问题（能否一笔画过所有桥？）
→ 从一道散步题到互联网路由、社交网络分析
→ 四色定理（Four Color Theorem）· 1976年计算机辅助首证
计算复杂度 Computational Complexity
→ P vs NP 问题：能快速验证答案，是否意味着能快速找到答案？
→ 千禧年七大难题之一，值 $1,000,000
→ 解决它将改写密码学、AI、生物学
〔六〕数学与世界的连接
数学物理：弦理论、量子场论、广义相对论
数学生物：种群模型、DNA 结构、神经网络数学
数学经济：期权定价（Black-Scholes）、博弈均衡
计算数学：算法、AI、量子计算
IMO · 国际数学奥林匹克
→ 最顶尖的数学少年在这里相遇
→ 不是终点，是另一个起点
致 Aaron 和 Justin：
你们现在学的每一个数字规律、每一道逻辑题，都是这片宇宙的第一块砖。
伽罗瓦在 21 岁决斗前夜写下了群论。黎曼在 1859 年随手写下一个猜想，至今没人能证明。怀尔斯花了 7 年独自躲在阁楼里，证明了费马 358 年前留下的挑战。
数学不是工具，是语言——少数人用它直接和宇宙对话。
🏛 数学史先驱光点索引
33位先驱，跨越5000年，6个时代。 详见独立节点：Pioneers（数学史先驱）
| 时代 | 代表先驱 |
|---|---|
| Era 0 · 文明之算（~3000BCE） | 欧几里得 · 毕达哥拉斯 · 古埃及人 |
| Era 1 · 东西方计算（~250BCE） | 阿基米德 · 刘徽 · 孙子 · 花剌子模 |
| Era 2 · 符号革命（1200CE） | 杨辉 · 笛卡尔 · 费马 · 帕斯卡 · 莱布尼茨 |
| Era 3 · 分析黄金（1665） | 牛顿 · 欧拉 · 高斯 · 傅里叶 |
| Era 4 · 现代边疆（1800） | 伽罗瓦 · 黎曼 · 哥德尔 · 希尔伯特 |
| Era 5 · 极限之问（1931） | 纳什 · 怀尔斯 · 佩雷尔曼 · 曼德布罗特 |
节点状态汇总
| 状态 | 含义 |
|---|---|
| ✅ 已建 | 节点完整，含例题和练习 |
| ✅ 含进阶 | 节点内已包含该难度例题 |
| ✅ 含竞赛 | 节点内已包含华罗庚竞赛例题 |
| 🔲 待建 | 计划中，尚未建立 |
| — | 该难度不适用于此主题 |
进度快照（2026-03-07）
3年级：10节已建，全就绪（含📙📕进阶）
4年级：7节已建，全就绪（含📙进阶）
5年级：9节已建，全就绪（含★竞赛专题）
6年级：10节已建，全就绪（含★竞赛专题）
⚠️ 待修正：0 个（归零）
7-9年级：竞赛品牌 希望杯初中组/初中联赛，结构占位
10-12年级：竞赛品牌 高中联赛/CMO·AMC，结构占位 + 12年级开放出口
🏛 数学史先驱：33位已登记，独立节点 [[Pioneers（数学史先驱）]]
下一扩展方向（Rob 确认后执行）：
- 打印工作册脚本（将节点导出为 A4 练习册格式）
- 7年级槽开始建设（Aaron 升初中时）
- 各节点内嵌 🏛 数学史光点 section
✅ 已解决问题节点（2026-03-07 归零）
原三个高中内容超纲节点已完成修正：
排列 Permutation.md→ 替换为排列计数 Counting Arrangements（树图法，小学奥数）组合 Combination.md→ 替换为组合选取 Counting Selections（枚举法，小学奥数）分组问题 Grouping.md→ 删除，内容融入上两节
当前 ⚠️ 节点：0 个
Code & Rob · K12数学库, 2026